Teoria de cossos

La teoria de cossos és una branca de les matemàtiques que estudia les propietats de cossos. Un cos és una entitat matemàtica per la qual l'addició, la subtracció, multiplicació i divisió són ben definides.^[1]

Els cossos més coneguts són el cos dels nombres racionals, el cos dels nombres reals i el cos dels nombres complexes. Molts altres cossos, com el cos de fraccions, el cos de funcions algebraiques, el cos dels nombres algebraics i el cos dels nombres p-àdics són sovint utilitzats i estudiats en el camp de les matemàtiques, particularment en toeria de nomrbes i en geometria algebraica. La majoria dels protocols criptogràfics es basen en cossos finits, és a dir, cossos amb un nombre finit d'elements.

La relació entre dos cossos s'expressa mitjançant la noció de l'extensió de cossos. La teoria de Galois, iniciada per Évariste Galois en la dècada de 1830, es dedica a entendre les simetries de les extensions de cos. Entre altres resultats, aquesta teoria mostra que la trisecció de l'angle i la quadratura del cercle no es poden realitzar amb regle i compàs. A més, demostra que les equacions de cinquè grau són, en general, irresolubles algebraicament.

Els cossos serveixen com a nocions fonamentals en diversos camps matemàtics. Això inclou diferents branques de l'anàlisi matemàtica, que es basen en cossos amb una certa estructura addicional. Els teoremes bàsics de l'anàlisi depenen de les propietats estructurals del cos dels nombres reals. Més importantment per als propòsits algebraics, qualsevol cos es pot utilitzar com els escalars per a un espai vectorial, que és el context general estàndard per a l'àlgebra lineal. Els cossos de nombres algebraics, germans del cos dels nombres racionals, s'estudien en profunditat en teoria dels nombres. Els cossos de funcions poden ajudar a descriure propietats d'objectes geomètrics.